关于M个球分到N个盒子的分析

2022-03-10 11:14 58 浏览

先从简单的进行分析:

①50个不同的球分到3个不同的盒子,有多少种方法?

析:这时候是不同元素分到不同盒子里,相当于每个球都有3种选择,则总情况数=350种;

②50个相同的球分到3个不同的盒子,有多少种方法?

解析:插板法的三个条件:相同元素  分到  不同盒子 、 每个盒子至少一个

这时候满足了前两个条件,我们可以这样想,先从3个盒子中各借一个球,总共变成了53个球,因为借了需要还回去,所以最后每个盒子至少要有一个球,这样就转化为----------

53个相同的球分到3个不同的盒子,每个盒子至少一个,有多少种方法?

利用插板法,C(52  2)=1326种。


③50个相同的球分到3个相同的盒子,有多少种方法?

解析:

解法一:为了防止重复,我们分组时统一按照增序进行计数,这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。

第一个盒子为0个球,此时另外两个盒子共有50个球,组合方式有0+50、1+49…25+25,所以共26种;

第一个盒子为1个球,此时另外两个盒子共有49个球,组合方式有1+48、2+47…24+25,所以共24种;

第一个盒子为2个球,此时另外两个盒子共有48个球,组合方式有2+46、3+45…24+24,所以共23种;

第一个盒子为3个球,此时另外两个盒子共有47个球,组合方式有3+44、4+43…23+24,所以共21种;

第一个盒子为4个球,此时另外两个盒子共有46个球,组合方式有4+43、5+42…23+23,所以共20种;

...............

至此我们可以看到,当第一个盒子为奇数时,情况数分别为24、21、18…呈等差数列;当第一个盒子为偶数时,情况数分别为26、23、20…也呈等差数列;

我们来观察最后几种情况,

第一个盒子里为15个球,此时另外两个盒子共有35个球,组合方式有15+20、16+19、17+18三种;

第一个盒子里为16个球,此时另外两个盒子共有34个球,组合方式有16+18、17+17两种;

第一个盒子里为17个球,此时另外两个盒子共有33个球,组合方式有17+16,不符合增序,所以到此为止。

总情况数=24+21+…+3+(26+23+20…+2)=27*8/2+(28*9/2)=234种;


解法二:我们把3个盒子看做不同的话,总共有C(52  2)=1326种;不同到相同需要除以A(3 3)=6;比如说(1、 2、 47)这种分组,对于盒子不同的时候是六种,而变为盒子相同时则只有1种;但是对于(0、0、50)这种分组,对于盒子不同时候是三种,而变为盒子相同时也只有1种,所以我们对于分组时出现相同个数的情况,比如(1、1、48)这种,只需要补上3种,让其变为六种,然后就可以统一除以6进行计算。

分组出现相同个数的情况有(0、0、50)(1、1、48)(2、2、46)…(25、25、0),共26种,所以我们需要补26个3,即78,所以可得总情况数=(1326+78)/6=234种;

④50个不同的球分到3个相同的盒子,有多少种方法?

解析:我们不妨以4个不同球放三个相同盒子和5个不同球放三个相同盒子入手进行归纳总结,找出相应的规律。

4个不同球放三个相同的盒子,相当于把ABCD四个球分成三组。

(0、0、4)此时只有1种;

(0、1、3)此时有C(4  1)=4种;从ABCD中选出一个即可。

(0、2、2)此时有C(4  2)/A(2  2)=3种;AB/CD、AC/BD、AD/BC。

(1、1、2)此时有C(4  1)*C(3  1)*C(2  2)/A(2  2)=6种;A/B/CD、A/C/BD、A/D/BC、B/C/AD、B/D/AC、C/D/AB。

总情况数有1+4+3+6=14种;

如果是4个不同球放三个不同的盒子,总共34种;我们可以看到

(一)对于(0、1、3)这种情况,如果是三个相同的盒子,就有4种;如果是三个不同的盒子,需要排列,就有4*A(3  3)=24种;

(二)对于(0、2、2)这种情况,如果是三个相同的盒子,就有3种;如果是三个不同的盒子,因为两个2是不同的组合,所以还是需要排列,就有3*A(3  3)=18种;

(三)对于(1、1、2)这种情况,如果是三个相同的盒子,就有6种;如果是三个不同的盒子,因为两个1是不同的组合,所以还是需要排列,就有6*A(3  3)=36种;

(四)对于(0、0、4)这种情况,如果是三个相同的盒子,就有1种;如果是三个不同的盒子,这个时候只需要选出哪一个盒子装4个球即可,是三种;

综上,对于(一)(二)(三),我们从不同盒子变为相同盒子时,可以直接除以6,而对于(四)这种,我们需要补个3,然后再除以6,综合起来就是34+3)/6=14种;

我们可以再以5个不同球放三个相同盒子进行检验一下。

5个不同球放三个相同盒子,相当于把ABCDE五个球分成三组。

(0、0、5)此时只有1种;

(0、1、4)此时有C(5  1)=5种;从ABCDE中选出一个即可;

(0、2、3)此时有C(5  2)=10种;AB/CDE、AC/BDE、AD/BCE、AE/BCD、BC/ADE、BD/ACE、BE/ACD、CD/ABE、CE/ABD、DE/ABC。

(1、1、3)此时有C(5  1)*C(4  1)*C(3  3)/A(2  2)=10种;A/B/CDE、A/C/BDE、A/D/BCE、A/E/BCD、B/C/ADE、B/D/ACE、B/E/ACD、C/D/ABE、C/E/ABD、D/E/ABC。

(1、2、2)此时有C(5  1)*C(4  2)*C(2  2)/A(2  2)=15种;A/BC/DE、A/BD/CE、A/BE/CD、B/AC/DE、B/AD/CE、B/AE/CD、C/AB/DE、C/AD/BE、C/AE/BD、D/AB/CE、D/AC/BE、D/AE/BC、E/AB/CD、E/AC/BD、E/AD/BC。

总情况数有1+5+10+10+15=41种=35+3)/6

可以看到除了(0、0、5)这种情况从不同盒子变为相同盒子时,需要补3,其余几种情况都可以直接除以6。

这个题目跟③的区别就在于③是相同的球,分组时只需考虑个数,组内不需要排列,而这个题目因为是不同的球,在分组的时候虽然个数相同,但是是由不同的球组成,所以变为不同盒子的时候,依然要乘以A(3  3)。只有在(0、0、x)这种情况中,从不同盒子变为相同盒子,不同盒子时是3种,相同盒子时是1种,所以要想跟其他分组归为一类,必须补一个3,使其也变为6种,再整体除以6即可。

至此,我们可以得出这个题的答案为350+3)/6

⑤50个不同的球分到3个不同的盒子,每盒至少一个,有多少种方法?

解析:在①中我们分析过,如果去掉每盒至少一个这个条件的话,是350种,我们只需要减去有空盒的情况即可,有两个空盒的情况有3种,分别是(0、0、50)(0、50、0)(50、0、0),有一个空盒的情况,先选出空盒C(3  1),相当于把50个球放到另外的两个盒子里,每个球有2种选择,共有250种,但是这时候包括了50个球都进同一个盒子的两种情况,所以要减掉。最后总情况数为350-3-C(3  1)(250-2)=350-3*250+3

⑥50个相同的球分到3个不同的盒子,每盒至少一个,有多少种方法?

解析:相同元素  分到  不同盒子 、  每盒至少一个

插板法C(49 2)=1176种。


⑦50个相同的球分到3个相同的盒子,每盒至少一个,有多少种方法?

解析:

解法一:为了防止重复,我们分组时统一按照增序进行计数,这样就不会出现类似于1、2、47和2、1、47这样的重复情况。

第一个盒子为1个球,此时另外两个盒子共有49个球,组合方式有1+48、2+47…24+25,所以共24种;

第一个盒子为2个球,此时另外两个盒子共有48个球,组合方式有2+46、3+45…24+24,所以共23种;

第一个盒子为3个球,此时另外两个盒子共有47个球,组合方式有3+44、4+43…23+24,所以共21种;

第一个盒子为4个球,此时另外两个盒子共有46个球,组合方式有4+43、5+42…23+23,所以共20种;

...........

至此我们可以看到,当第一个盒子为奇数时,情况数分别为24、21、18…呈等差数列;当第一个盒子为偶数时,情况数分别为23、20、17…也呈等差数列;

我们来观察最后几种情况,

第一个盒子里为15个球,此时另外两个盒子共有35个球,组合方式有15+20、16+19、17+18三种;

第一个盒子里为16个球,此时另外两个盒子共有34个球,组合方式有16+18、17+17两种;

第一个盒子里为17个球,此时另外两个盒子共有33个球,组合方式有17+16,不符合增序,所以到此为止。

总情况数=24+21+…+3+(23+20+17…+2)=27*8/2+(25*8/2)=208种;


解法二:我们把3个盒子看做不同的话,总共有C(49 2)=1176种;不同到相同需要除以A(3 3)=6;比如说(1、 2、 47)这种分组,对于盒子不同的时候是六种,而变为盒子相同时则只有1种;但是对于(1、1、48)这种分组,对于盒子不同时候是三种,而变为盒子相同时也只有1种,所以我们对于分组时出现相同个数的情况,比如(1、1、48)这种,只需要补上3种,让其变为六种,然后就可以统一除以6进行计算。

分组出现相同个数的情况有(1、1、48)(2、2、46)…(24、24、2),共24种,所以我们需要补24个3,即72,所以可得总情况数=(1176+72)/6=208种;


⑧50个不同的球分到3个相同的盒子,每盒至少一个,有多少种方法?

解析:原理跟③推④类似,我们知道了50个不同的球分到3个不同的盒子,每盒至少一个,350-3*250+3种方法,因为条件说了每盒至少一个,所以不存在(0、0、x)这种需要补3的情况,我们直接除以6即可,所以总情况数=(350-3*250+3)/6。











分享:
相关内容
  • 走走停停问题专题
    一、单人走停例1:某人登山,上山时每走30分钟,休息10分钟;下山时每走30分钟,休息5分钟;下山的速度是上山速度的1.5倍。如果下山用了2小时15分,那么上山用的时间是(    )。     【福建2009】A. 3小时40分     B. 3小时50分     C. 4小时     D. 4小时10分析:下山30+5,相当于35分钟一个周期,用了2小时15分=135分,走了3个周期+30分钟,所
  • 调和平均数秒杀专题
    1、 关于三个量构成调和平均数,很多同学把这个知识点看的很复杂,其实本质就是一个等差数列。2、什么情况下能使用调和平均数?数学表达式C=A×B,C不变,A等差,B调和。即2个数相乘,积不变,其中一个因数等差,另外一个因数调和。关键:找出等差的三个量,比如DEF呈等差数列,有2E=D+F、D=2E-F,F=2E-D,表示成这种形式,再计算即可。3、常见的调和平均数:10、12、15、20、30、6
  • 比赛问题专项
                    n人参赛              需要的比赛场次淘汰赛需要决出冠亚军                 n-1 (淘汰n-1个队伍就能决出冠亚军)淘汰赛需要决出前四名                 n单循环(任两人间打一场比赛)    C(n 2)双循环(分主客场)             
  • 几个常见数字特性的证明
    (1) 被2整除特性:一个数的最后一位能被2整除,说明这个数能够被2整除。如果不能被2整除,说明这个数就不能被2整除;证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=(a*10000+b*1000+c*100+d*10)+e,可以看出括号内必为2的倍数,所以如果e是2的倍数的话,就可以得到原数abcde是2的倍数;并且当e不是2的倍数时,e和原数abcde对于2同余;例如125除以2的余数和5除以2的余数相同。 (
  • 鸡兔同笼问题
    有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔?分析思路:假设35只都是鸡,那么总共有70只脚,还差了94-70=24只脚,每当有一只鸡转化为兔子,总脚数就增加2只,所以兔子的只数=24/2=12、鸡的只数=35-12=23。一、常规鸡兔同笼问题例1:有大小两个瓶,大瓶可以装水5千克,小瓶可装水1千克,现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相
  • 关于“增减速”模型的原理分析
    例:一辆汽车从A地运货到B地,若该车的速度增加8千米/小时,可以提前1小时到达B地,若该车的速度减少12千米/小时,到达B地的时间将延迟3小时,则A地与B地之间的距离为(  )千米。       A.120     B.150     C.160     D.180析:先分析原理;假设原来的时间为t小时;速度增加8以后,依然走t小时,就会多走8t 的路程,实际只刚好走了一个
  • 排列组合之分块涂色问题
    将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法?A.42B.48C.56D.81析: 三种作物全部都要用上,A有3种选择,B有两种,C有两种,D有两种,E有两种,共3*2^4=48种,里面包含了XYXYX这种只用到了两种作物的六种情况(C3 2*C2 1),所以要减去这六种情况,总共48-6=42种,选A用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色,相邻
相关推荐
  • 排列组合之分块涂色问题
    将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法?A.42B.48C.56D.81析: 三种作物全部都要用上,A有3种选择,B有两种,C有两种,D有两种,E有两种,共3*2^4=48种,里面包含了XYXYX这种只用到了两种作物的六种情况(C3 2*C2 1),所以要减去这六种情况,总共48-6=42种,选A用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色,相邻
  • 常用易混实词辨析
    A哀怜爱怜爱恋:“哀怜”指对别人的不幸遭遇表示同情;“爱怜”指十分疼爱,多用于子女;“爱恋”指热爱而难以分离,多用于男女之间。安置安顿安排:“安置”重在“置”,使工作、生活、物品等有适当的位置,或指人或物的处置各得其所;“安顿”重在“顿”,妥当安排使有着落;“安排”重在“排”,分轻重缓急、先后主次,有条不紊地处置人或事物。按语暗语:“按语
  • 行测考试:易错成语500例
    行测考试:易错成语500例 1. 哀鸿遍野:比喻呻吟呼号、流离失所的灾民到处都是。哀鸿,哀鸣的大雁,比喻悲哀呼号的灾民。2. 安步当车:古代称人能安贫守贱。现多用以表示不乘车而从容不迫地步行。安,安闲。3. 安土重还:安于本乡本土,不愿轻易迁移。重,看得很重。4. 嗷嗷(áo)待哺(bǔ):形容受饥饿的悲惨遭情景。嗷嗷,哀号声;哺,喂食。5. 筚(bì)路蓝缕:驾着柴车,穿
  • 几个常见数字特性的证明
    (1) 被2整除特性:一个数的最后一位能被2整除,说明这个数能够被2整除。如果不能被2整除,说明这个数就不能被2整除;证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=(a*10000+b*1000+c*100+d*10)+e,可以看出括号内必为2的倍数,所以如果e是2的倍数的话,就可以得到原数abcde是2的倍数;并且当e不是2的倍数时,e和原数abcde对于2同余;例如125除以2的余数和5除以2的余数相同。 (
  • 教师三八红旗手述职报告
    教师三八红旗手述职报告本人XXX,女,出生于X年X月,本科学历。现任教于XX省XX小学。并一直担任小学英语和语文教学工作。曾先后获县嘉奖、县优秀少先队辅导员等荣誉称号。多次赛课和课件分别获省教案一等奖,省课件二等奖,县赛课二等奖,县制作课件二等奖,镇赛课一等奖等。任教的英语学科成绩也多次在镇获第一名。在思想上,我忠诚党的教育事业,积极贯彻和执行党的教
  • 灌区工作人员年度个人考核
        这一年来,我始终坚持以党的群众路线教育活动为指引,认真贯彻执行党的路线、方针、政策,为加快社会主义建设事业认真做好本职工作。工作积极主动,勤奋努力,不畏艰难,尽职尽责,在平凡的工作岗位上作出力所能及的贡献。尊敬领导,团结同事。勤俭节约,爱护公物。平日里乐于助人,积极营造和谐的人际关系,深受领导、同事和群众的认可与赞同。   
  • 禁止在水库、河道岸堤种植农作物的通告
                                                                通  告    根据《中华人民共和国水法》、《中华人民共和国防洪法》、《XX省水土保持条例》等有关法律法规,为维护XX水库及灌区正常管理秩序,确保水库、灌区工程及人民生命财产安全,水库及灌区管理范围内禁
资料
热门内容
  • 2021年5月15日,(  “天问一号” )探测器成功着陆于火星乌托邦南部预选着陆区
    2021年5月15日,(    )探测器成功着陆于火星乌托邦南部预选着陆区,我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。A.“天舟一号”B.“天舟二号”C.“天问一号”D.“祝融号”答案:C
  • 行测考试:易错成语500例
    行测考试:易错成语500例 1. 哀鸿遍野:比喻呻吟呼号、流离失所的灾民到处都是。哀鸿,哀鸣的大雁,比喻悲哀呼号的灾民。2. 安步当车:古代称人能安贫守贱。现多用以表示不乘车而从容不迫地步行。安,安闲。3. 安土重还:安于本乡本土,不愿轻易迁移。重,看得很重。4. 嗷嗷(áo)待哺(bǔ):形容受饥饿的悲惨遭情景。嗷嗷,哀号声;哺,喂食。5. 筚(bì)路蓝缕:驾着柴车,穿
  • 中国共产党十九大报告相关知识应知应会
    1.十九大报告的题目是:_____。答:决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利2.大会的主题是:_____。答:不忘初心,牢记使命,高举中国特色社会主义伟大旗帜,决胜全面建成小康社会,夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利,为实现中华民族伟大复兴的中国梦不懈奋斗。3.习近平同志在十九大报告中指出,经过长期努力,中国特色社会主义进入了_____,这是我国发
  • 行测考试:常见易混淆的词语辨析
    行测考试:常见易混淆的词语辨析  1.开诚布公: 开诚:敞开胸怀;表示诚意;布公:公正无私地发表自己的见解。指坦白无私、诚恳公正地亮出自己的见解。 推心置腹: 把赤诚的心交给人家。比喻真诚待人。 辨析:“开诚布公”和“推心置腹”;都有诚心待人的意思。但“开诚布公”偏重形容心地坦白、无私;“推心置腹”偏重在形容两人的交情很深厚。 披肝沥胆
  • 常用易混实词辨析
    A哀怜爱怜爱恋:“哀怜”指对别人的不幸遭遇表示同情;“爱怜”指十分疼爱,多用于子女;“爱恋”指热爱而难以分离,多用于男女之间。安置安顿安排:“安置”重在“置”,使工作、生活、物品等有适当的位置,或指人或物的处置各得其所;“安顿”重在“顿”,妥当安排使有着落;“安排”重在“排”,分轻重缓急、先后主次,有条不紊地处置人或事物。按语暗语:“按语
联系方式
  • QQ:253554781
  • 253554781@qq.com(投稿邮箱)