排列组合之分块涂色问题

2022-03-23 12:56 83 浏览

将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物。则有多少种种植方法?

A.42

B.48

C.56

D.81


析: 三种作物全部都要用上,A有3种选择,B有两种,C有两种,D有两种,E有两种,共3*2^4=48种,里面包含了XYXYX这种只用到了两种作物的六种情况(C3 2*C2 1),所以要减去这六种情况,总共48-6=42种,选A

用5种不同颜色为图中ABCDE五个部分染色,相邻部分不能同色,但同一种颜色可以反复使用,也可以不使用,则符合要求的不同染色方法有多少种?

析:先排连接部分最多的C,有5种,然后A有4种,B有3种,D有3种,E有3种,所以共5*4*3*3*3=540种


如图,把A,B,C,D,E,F这六个部分用5种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相邻的部分可以使用同一种颜色,那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?

析:注意D和F只是有交点,并没有相邻。先排连接部分最多的E,有5种,然后F有4种,B有3种,A有3种,C有3种,D有3种,所以共5*4*3*3*3*3=1620种


将一个四棱锥的五个顶点染色,使同一条棱的2个端点不同色,且只由五个颜色可以使用,有多少种染色方法?

析:先排连接区域最多的元素A,有5种颜色,然后排B有4种颜色,排C有3种颜色,共5*4*3,接下来排D的时候,要进行分类讨论,因为D和B的颜色是否相同,影响到E颜色的选取。

①当D和B颜色相同时,D有一种颜色选择,E跟ABD连接,所以E有3种颜色选择,1*3

②当D和B颜色不同时,D和ABC连接,D有两种选择,E跟ABD链接,E有两种颜色选择,2*2

所以总情况数=5*4*3*(1*3+2*2)=420种


小明家门前有一块形状如图所示的花园,他想在花园里种花,发现家里有5种花的种子。他对花园的唯一要求是相邻的两块地不能种植同样的花,那么一共有( )种不同的种植方案。

A. 180

B. 240

C. 260

D. 280 

析:首先从左上角开始,顺时针依次排列,左上角有5种选择,右上角有4种选择,总共20种;因为右下角选择哪种花,会对左下角造成影响,所以我们分类讨论:

①右下角跟左上角选择的种类相同时,此时右下角有一种选择,左下角有4种选择;

②右下角跟左上角选择的种类不同时,此时右下角有3种(跟左上、右上都不同),此时左下角有3种,共3*3=9种;

总情况数=20*(4+9)=260,选C


一个地区分为如图所示的五个行政区域,现在有4种颜色可供选择,给地图着色,要求相邻区域不同色,那么则有多少种染色方法?

析:先排连接区域数最多的元素①,有4种颜色,然后排②有3种颜色,排⑤有2种颜色,共4*3*2种

接下来排④的时候,要进行分类讨论,因为④与②的颜色是否相同,影响到③号颜色的选取

当④与②的颜色相同时,④有一种选择,③有两种选择,1*2

当④与②的颜色不同时,④跟① ② ⑤颜色都不同,④ 有一种选择,③跟② ① ④ 颜色都不同,③也只有一种选择,1*1

所以总情况数=4*3*2*(1*2+1*1)=72种


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