关于“增减速”模型的原理分析

2022-03-26 11:43 49 浏览

例:一辆汽车从A地运货到B地,若该车的速度增加8千米/小时,可以提前1小时到达B地,若该车的速度减少12千米/小时,到达B地的时间将延迟3小时,则A地与B地之间的距离为(  )千米。       

A.120     B.150     C.160     D.180


析:

先分析原理;假设原来的时间为t小时;

速度增加8以后,依然走t小时,就会多走8t 的路程,实际只刚好走了一个全程,因为实际虽然提速了,但是少走了1小时,所以8t=v1×1(v1表示提速以后的速度);

速度减少12以后,依然走t小时,就会少走12t 的路程,实际也刚好走了一个全程,因为实际虽然减速了,但是多走了3小时,所以12t=v2×3(v2表示减速以后的速度);

根据这两个式子,可以得到v1:v2=(8t/1):(12t/3)=(8×3)/(12×1)=2:1=40:20【两次速度相差20】,所以原来的速度为40-8=32千米/小时;

相同路程,时间比=速度的反比=1:2=4:8【两次时间相差4小时】,所以原来的时间=4+1=5小时;

总路程=40×4=20×8=32×5=160;



初学的时候哪个比哪个容易弄混淆,有点类似于牛吃草表格法,可以这样记忆:

变化的速度   变化的时间

    +8                  -1

    -12                +3

 对角线相乘再做比,得到的就是两次速度之比=(8×3):(1×12)=2:1;反之就是两次时间之比=(12×1):(8×3)=1:2。这种解法用来求三个速度、三个时间、总路程,都是比较方便的。  



例1:一辆汽车从A地运货到B地,若该车的速度增加20千米/小时,可以提前45分钟到达B地,若该车的速度减少12千米/小时,到达B地的时间将延迟45分钟,则A地与B地之间的距离为多少千米?    【陕西2015】

A.164  B.176  C.180  D.196  E.200  F.212  G.244  H.256


析:变化的速度    变化的时间

           +20             -3/4

           -12             +3/4      

两次速度之比=(20×3/4):(12×3/4)=5:3=80:48【速度差了32】;

两次时间之比=3:5=(9/4):(15/4)【时间差了3/2小时】;

总路程=80×(9/4)=48×(15/4)=180,选C

 


以下例题加以巩固


例2:老师拿了一袋糖分给大班的小朋友,如果小朋友增加2人,则每人少分5块糖;如果小朋友再增加4人,则每人再少分7块糖;求这袋糖有多少块?

A.320     B.400     C.480     D.560

析:

增加2人、每人少分5块糖;增加2+4=6人、每人少分5+7=12块糖;

    变化的人数    变化的每人分的糖块数

          +2                     -5

          +6                     -12

两次人数之比=(2×12):(6×5)=4:5=16:20【差了4个人】

两次每人分的糖块数之比=5:4=35:28【差了7块糖】

总糖数=16×35=20×28=560块,选D




例3:一群蚂蚁将食物从A处运往B处,如果它们的速度每分钟增加1米,可提前15分钟到达,如果它们的速度每分钟再增加2米,则又可提前15分钟到达,那么A处到B处之间的路程是(    )米。   【上海A2019】

A.120    B.180    C.240    D.270


析:速度增加1米/分钟、提前15分钟,速度增加1+2=3米/分钟、提前15+15=30分钟;增减速模型,可得两次速度之比=(1×30):(3×15)=2:3=4米/分钟:6米/分钟、两次时间之比=3:2=45分钟:30分钟,总路程=4×45=180米,选B


 


例4:公司员工准备包租一辆大客车去郊游,租费大家摊,因公司有事,有6名员工加班不能去,去的人每人多出5元,又来了一个人搭车,这样每个人比计划多出4元,问租费是多少元?

A.400    B.600    C.800    D.900


析:减少6人、每人的费用增加5元;减少5人、每人的费用增加4元;增减速模型,可得人数比=(6×4):(5×5)=24人:25人,每人的费用之比=25元:24元,租费=24×25=600元,选B


 

例5:A、B两地各有一批相同数量的货物箱需由某运输队用卡车完成交换,假设每辆卡车运送的货物箱数量相同,运输队首先从A地出发,中途10辆卡车因抛锚彻底退出这次运输,使得其余车辆必须每车再多运2箱,到达B地卸货后又有15辆卡车不返程,参与返程的卡车每辆都需比出发时多装运6箱。那么两地共有货物多少箱?     【联考二2019】

A.2000    B.1800    C.3600    D.4000


析:减少10辆卡车、每辆多运2箱,减少25辆卡车、每辆多运6箱;增减速模型,可得两次车辆数之比=(10×6):(25×2)=6:5=90辆:75辆、每辆车运的箱数之比=5:6=20箱:24箱,两地共有货物90×20×2=3600箱,选C


 

例6:某工程队承担一项工程,由于天气原因,工期将延后10天。为了按期完工,需增加施工人员。若增加4人,工期会延后4天;若增加10人,工期将提前2天。假设每人工作效率相同,为确保按期完工,则工程队最少应增加的施工人员数是:     【江苏B2019】

A.6    B.7    C.8    D.9


析:以延后10天为基准,若增加4人、工期提前6天,若增加10人、工期提前12天;增减速模型,可得两次人数之比=(4×12):(10×6)=4:5=24人:30人(相差6人),现在有24-4=20人;两次天数之比=5:4=30天:24天(相差6天),现在需要30+6=36天;若要按时完工至少需要20×36/(36-10)≈27.7人、最少应增加8人,选C



例7:甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行,按预定速度他们将在下午5时在途中相遇;如果他们每人每小时都比预定速度快1千米,则可在下午4时相遇;如果他们每人每小时都比预定速度慢1.5千米,则要在下午7时相遇;A、B两地的距离是多少千米?

A.180    B.300    C.600    D.800


析:速度和增加2、时间减少1小时,速度和减少3、时间增加2小时;增减速模型,可得速度比=(2×2):(3×1)=4:3=20:15,时间比3:4=9:12,总路程=20×9=180千米,选A



例8:一项工程,甲工作20天后,若乙来帮忙,可提前6天,若是丙来帮忙,可提前8天,丙工效是乙工效的1.5倍。如果从一开始就是甲、乙、丙一起做,需要多少天完成?

A.24    B.25    C.28    D.30


析:假设乙效率2、丙效率3;对于甲20天以后的任务量,效率增加2、提前6天完成,效率增加3、提前8天完成;增减速模型,可得效率比(2×8):(3×6)=8:9,所以甲效率8-2=6,天数比9:8=18:16,剩下的任务量甲单独做需要18+6=24天,则总任务量=6×(20+24)=264,三人合作需要264/(6+2+3)=24天,选A



例9:张大爷有一些牛和一块牧场,草匀速生长。如果张大爷再买回5头牛,则提前3天刚好吃完。如果张大爷卖掉4头牛,则可以多吃6天。若张大爷不买也不卖,多少天刚好吃完牧场的草?

A.6     B.9     C.10      D.12


析:

对于原来的那些牛,固定拿出一部分牛来抵消掉草的生长速度,则初始的草量始终为定值。

    变化的牛数    变化的天数

         +5                  -3

         -4                  +6

两次天数之比=(4×3):(5×6)=2:5=6:15【差9天】,提前3天以后为6天,最初天数=6+3=9天,选B



例10:甲乙二人同时从A城沿直线去B城,甲每小时比乙多走1公里、比乙早3小时到达;如果两人都将时速提高1公里,那么甲只能比乙早2小时到达,两地间距多少公里?

A.30     B.60     C.90     D.120

析:

(甲每小时比乙多走1公里、比乙早3小时到达)相当于【若甲时速减少1公里、则推迟3小时到达】;两人时速都提高1公里,(甲+1)比(乙+1)早到2小时、即(甲+1)比甲早到2小时,相当于【若甲时速增加1公里、则提前2小时到达】;

    变化的速度   变化的时间

           -1              +3

          +1              -2

两次速度之比=(1×2):(1×3)=2:3=4:6【速度相差2】,两次时间之比=3:2=15:10【时间相差5小时】,总路程=4×15=6×10=60公里,选B



例11:小王、小张、小李三人从甲地步行到乙地,已知小王每小时比小张多走100米,比小李每小时多走150米。三人同时从甲出发。已知小王13:00到达,小张14:00到达,小李16:00到达。请问他们是几点从甲地出发的?

A.10:00     B.10:30     C.11:00     D.12:00


析:

以小王为基准,速度减少100,时间增加1小时(小张);速度减少150,时间增加3小时(小李);

  变化的速度         变化的时间

      -100                     +1

      -150                     +3

两次时间之比=(150×1):(100×3)=1:2=2:4,小张2小时到达,说明12:00出发,选D


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