几个常见数字特性的证明

2022-03-27 18:57 62 浏览

(1) 被2整除特性:一个数的最后一位能被2整除,说明这个数能够被2整除。如果不能被2整除,说明这个数就不能被2整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=(a*10000+b*1000+c*100+d*10)+e,可以看出括号内必为2的倍数,所以如果e是2的倍数的话,就可以得到原数abcde是2的倍数;并且当e不是2的倍数时,e和原数abcde对于2同余;例如125除以2的余数和5除以2的余数相同。


 

(2)被5整除特性:一个数的最后一位能被5整除,说明这个数能够被5整除。如果不能被5整除,说明这个数就不能被5整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=(a*10000+b*1000+c*100+d*10)+e,可以看出括号内必为5的倍数,所以如果e是5的倍数的话,就可以得到原数abcde是5的倍数;并且当e不是5的倍数时,e和原数abcde对于5同余;例如126除以5的余数和6除以5的余数相同。



(3)被3整除特性:一个数字的每位数字相加能被3整除,说明这个数能够被3整除。如果不能够被3整除,说明这个数就不被3整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e=[a*9999+b*999+c*99+d*9]+(a+b+c+d+e),可以看出中括号内必为3的倍数,所以如果(a+b+c+d+e)也是3的倍数的话,就可以得到原数abcde是3的倍数;并且当(a+b+c+d+e)不是3的倍数时,(a+b+c+d+e)和原数abcde对于3同余;例如125除以3的余数和(1+2+5)除以3的余数相同。


例:某商场促销,晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5折,付款时满400元再减100元。已知某鞋柜全场8.5折,某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋,花了384.5元,问这双鞋的原价为多少钱?    

A.550元       B.600元       C.650元      D.700元

析:根据选项可得原价大于400,所以最后付款时需要减去100,设原价x,可得x*0.95*0.85-100=384.5,即x*0.95*0.85=484.5,484.5是3的倍数且0.95和0.85都不是3的倍数,则x必为3的倍数,选B



(4)被9整除特性:一个数字的每位数字相加能被9整除,说明这个数能够被9整除。如果不能够被9整除,说明这个数就不被9整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e=[a*9999+b*999+c*99+d*9]+(a+b+c+d+e),可以看出中括号内必为9的倍数,所以如果(a+b+c+d+e)也是9的倍数的话,就可以得到原数abcde是9的倍数;并且当(a+b+c+d+e)不是9的倍数时,(a+b+c+d+e)和原数abcde对于9同余;例如125除以9的余数和(1+2+5)除以9的余数相同。


 


例:某单位招录了10名新员工,按其应聘成绩排名1到10,并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除,问排名第三的员工工号所有数字之和是多少?   

A. 9      B. 12     C. 15     D. 18

析:假设第三名的工号是abcd,工号和是a+b+c+d=x,则x是3的倍数;因为第十名的工号和是10的倍数,所以第十名工号最后一位是0,则前九名工号的最后一位依次为1、2、3、4、5、6、7、8、9;第三名的工号是abcd,则第九名的工号是abc(d+6),工号和是a+b+c+d+6=x+6,所以第九名的工号和(x+6)必为9的倍数,观察选项只有B满足,选B



(5)被4整除特性:一个数的后两位能够被4整除,则这个数就能被4整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=[a*10000+b*1000+c*100]+(d*10+e),可以看出中括号内必为4的倍数,所以如果(10*d+e)是4的倍数的话,就可以得到原数abcde是4的倍数;并且当(10*d+e)不是4的倍数时,(10*d+e)和原数abcde对于4同余;例如125除以4的余数和25除以4的余数相同。


 

(6)被25整除特性:一个数的后两位能够被25整除,则这个数就能被25整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=[a*10000+b*1000+c*100]+(d*10+e),可以看出中括号内必为25的倍数,所以如果(10*d+e)是25的倍数的话,就可以得到原数abcde是25的倍数;并且当(10*d+e)不是25的倍数时,(10*d+e)和原数abcde对于25同余;例如128除以25的余数和28除以25的余数相同。


 

例:某剧院有25排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位? 

A. 1104     B. 1150     C. 1170    D. 1280

析:总共25排并且呈等差数列,所以总座位数=25*第13排座位数,则总数必为25的倍数,25的倍数只需保证后两位是25的倍数即可,选B


(7)被6整除特性:兼具被2整除和被3整除的特性即可,或者可以叙述为原数为偶数且各位数字之和是3的倍数,则原数是6的倍数;

(8)被7整除特性:

①割尾法:一个数字的末一位的两倍,与剩下的数之差为7的倍数,说明这个数能被7整除。

证明:令m=a1+a2*10+a3*100+a4*1000……+an*10(n-1)   ,则m去掉末位后剩下的数与末位2倍的差为 n=   a2   +a3*10  +a4*100……+an*10(n-2) - 2a1   

2m+n=a2*21+a3*210+a4*2100+……+an*21*10(n-2)  = 21*[ a2+a3*10+……+an*10(n-2)  ]


因为2m+n必为7的倍数,所以若m是7的倍数的话,可得n也必为7的倍数;


②末三法:一个数字的末三位划分,大的数减去小的数除以7,能整除说明这个数就能被7整除。


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=ab*1000+cde=ab*1001+(cde-ab)=[ab*7*11*13]+(cde-ab)

因为中括号内必为7的倍数,所以如果(cde-ab)为7的倍数的话,就可以得到原数abcde是7的倍数;

并且对于(cde-ab)>0,当(cde-ab)不是7的倍数时,(cde-ab)和原数abcde对于7同余;例如4321除以7的余数和317(321-4)除以7的余数相同。


(9)被8整除特性:一个数的后三位能够被8整除,则这个数就能被8整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=[a*10000+b*1000]+(c*100+d*10+e),可以看出中括号内必为8的倍数,所以如果(100*c+10*d+e)是8的倍数的话,就可以得到原数abcde是8的倍数;并且当(100*c+10*d+e)不是8的倍数时,(100*c+10*d+e)和原数abcde对于8同余;例如3450除以8的余数和450除以8的余数相同。



(10)被125整除特性:一个数的后三位能够被125整除,则这个数就能被125整除;


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=[a*10000+b*1000]+(c*100+d*10+e),可以看出中括号内必为125的倍数,所以如果(100*c+10*d+e)是125的倍数的话,就可以得到原数abcde是125的倍数;并且当(100*c+10*d+e)不是125的倍数时,(100*c+10*d+e)和原数abcde对于125同余;例如3450除以125的余数和450除以125的余数相同。



(11)被11整除特性:


①叉减法:把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差;如果这个差是11的倍数(包括0),那么原来这个数就一定能被11整除


证明:以五位数为例,假设这个数位abcde,则有abcde=a*10000+b*1000+c*100+d*10+e

=(11000-1100+110-11+1)*a+(1100-110+11-1)*b+(110-11+1)*c+(11-1)*d+e

=[(11000-1100+110-11)*a+(1100-110+11)*b+(110-11)*c+(11)*d]+(a-b+c-d+e)


可以看到中括号内必为11的倍数,所以如果(a-b+c-d+e)是11的倍数的话,就可以得到原数abcde是11的倍数; 并且对于(a-b+c-d+e)>0,当(a-b+c-d+e)不是11的倍数时,(a-b+c-d+e)和原数abcde对于11同余数;例如54321除以11的余数和3(5+3+1-4-2)除以11的余数相同。


②末三法:一个数字的末三位划分,大的数减去小的数除以11,能整除说明这个数就能被11整除。


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=ab*1000+cde=ab*1001+(cde-ab)=[ab*7*11*13]+(cde-ab)

因为中括号内必为11的倍数,所以如果(cde-ab)是11的倍数的话,就可以得到原数abcde是11的倍数;并且对于(cde-ab)>0,当(cde-ab)不是11的倍数时,(cde-ab)和原数abcde对于11同余;例如12345除以11的余数和333(345-12=333)除以11的余数相同。


(12)被13整除特性:


①割尾法:一个数字的末一位的4倍,与剩下的数之和为13的倍数,说明这个数能被13整除。


证明:

令 m=  a1+a2*10+a3*100+a4*1000……+an*10(n-1)  ,则m去掉末位后剩下的数与末位4倍的和为 n=4 a1+a2   +a3*10  +a4*100……+an*10(n-2)   

m+3n=a1*13+a2*13+a3*130+a4*1300+……+an*13*10(n-2)  = 13*[ a1+a2+a3*10+……+an*10(n-2)  ]

因为m+3n必为13的倍数,所以若m是13的倍数的话,可得n也必为13的倍数;



②末三法:一个数字的末三位划分,大的数减去小的数除以13,能整除说明这个数就能被13整除。


证明:以五位数为例,假设这个数为abcde,则有abcde=ab*1000+cde=ab*1001+(cde-ab)=[ab*7*11*13]+(cde-ab)

因为中括号内必为13的倍数,所以如果(cde-ab)为13的倍数的话,就可以得到原数abcde是13的倍数;并且对于(cde-ab)>0,当(cde-ab)不是13的倍数时,(cde-ab)和原数abcde对于13同余;例如4321除以13的余数和317(321-4)除以13的余数相同。 





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