调和平均数秒杀专题

2022-03-27 21:04 44 浏览

1、 关于三个量构成调和平均数,很多同学把这个知识点看的很复杂,其实本质就是一个等差数列。

2、什么情况下能使用调和平均数?


数学表达式C=A×B,C不变,A等差,B调和。即2个数相乘,积不变,其中一个因数等差,另外一个因数调和。


关键:找出等差的三个量,比如DEF呈等差数列,有2E=D+F、D=2E-F,F=2E-D,表示成这种形式,再计算即可。


3、常见的调和平均数:10、12、15、20、30、60(扩大或者缩小相同的倍数也一样),可以记一下常用的调和数列,非常常用。



例1:某种溶液的浓度为20%,加入水后溶液的浓度变为15%,如果再加入同样多的水,则溶液浓度变为:   【江苏B2012】

A. 13%    B. 12.5%   C. 12%   D. 10%


析:

解法一:溶质(积一定)=浓度×溶液,溶液呈等差,假设溶质为1,都省去百分号,根据第一次加水后的溶液质量×2=(初始溶液质量)+(第二次加水后的溶液质量),可得2/15=(1/20)+(1/x),x=1/[(2/15)-(1/20)]=12,选C

解法二:特值溶液为300克,则初始溶质为60克,加水后溶质不变、溶液=60/15%=400克,所以加水400-300=100克,再加水100克,溶液变为500克,浓度=60/500=12%,选C

解法三:12、15、20为调和数列,选C



例2:一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水,溶液的浓度变为3%,再加入同样多的水,溶液的浓度为x%,问第三次再加入同样多的水后,溶液的浓度为1.5%,则x的值为?

A、2%     B、1.8%    C、1.6%     D、1.2%

析:溶质(积一定)=浓度×溶液,溶液呈等差,假设溶质为1,可得2/x=(1/3)+(1/1.5),x=2/[(1/3)+(1/1.5)]=2,选A



4、利用调和平均数的五类常见题型:


①等距离求平均速度  


例1:一个人骑自行车过桥,上桥的速度为每小时12公里,下桥的速度为每小时24公里。上下桥所经过的路程相等,中间没有停顿。问此人过桥的平均速度是多少? 【天津2007】

A.14公里/小时    B.16公里/小时    C.18公里/小时   D.20公里/小时  

析:路程(积一定)=速度×时间,假设全程是1,上桥时间t1、平均时间(t1+t2)/2 、下桥时间t2三个量呈等差,2/x=(1/12)+(1/24),x=2/[(1/12)+(1/24)]=2/(3/24)=16,选B

还可以理解为:假设全程是1,平均速度=总路程/总时间=2/[(1/12)+(1/24)]=2/(3/24)=16。


②等间隔路程求发车时间 


例2:某人沿电车线路匀速行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔? 【黑龙江2010】

A.2分钟   B.4分钟   C.6分钟    D.8分钟

析:

解法一:两车间的路程(一定)=速度×时间,从后面追上属于追击问题,速度差(V车-V人);从正面相遇属于相遇问题,速度和(V车+V人);三个量(V车-V人)、V车、(V车+V人)呈等差,假设相邻两车间距为1,则(1/12)+(1/4)对应2V车,2/[(1/12)+(1/4)]=6,选C

解法二:路程一定,速度与时间呈反比,速度差:速度和=4:12=1:3,车速2份,路程=1×12=12份,发车间隔=12/2=6,选C



③等费用求平均价格  


例3:商店购进甲、乙两种不同的糖所用的钱数相等,已知甲种糖每千克6元,乙种糖每千克4元。如果把这两种糖混在一起成为什锦糖,那么这种什锦糖每千克的成本是多少元?   【北京2005】

A、3.5   B、4.2  C、4.8  D、5 

析:总价(积一定)=单价×数量,甲的数量a、平均数量(a+b)/2、乙的数量b三者呈等差,2/[(1/6)+(1/4)]=4.8,选C

还可以理解为:假设两种糖都买了1元钱的,平均成本=总钱数/总千克数=2/ [(1/6)+(1/4)]=4.8。


④等溶质稀释求浓度  


例4:一种溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度为10%;再蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度变为12%;第三次蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度将变为多少?  【国家2009】

A.14%  B.17%   C.16%   D.15%

析:溶质(不变)=溶液×浓度,溶质质量不变,第一次蒸发后溶液质量m1、第二次蒸发后溶液质量m1-x、第三次蒸发后溶液质量m1-2x三者呈等差,假设溶质为1,1/[(2/12)-(1/10)]=15,选D


 

⑤静水行船问题


例5:一艘游轮从甲港口顺水航行至乙港口需7小时,从乙港口逆水航行至甲港口需9小时。问如果在静水条件下,游轮从甲港口航行至乙港口需多少小时?    【浙江2011】

A、7.75小时     B、7.875小时      C、8小时      D、8.25小时

析:路程(积一定)=速度×时间,顺水速度、静水速度、逆水速度呈等差,假设路程为1,则(1/7)+(1/9)对应2V静,2/[(1/7)+(1/9)]=7.875,选B



【类似的漂流问题】


例6:一艘游轮从甲港口顺水航行至乙港口需7小时,从乙港口逆水航行至甲港口需9小时。问如果满足漂流条件,一个瓶子从甲港口漂流行至乙港口需多少小时?

A、7.75小时     B、7.875小时     C、63小时    D、126小时

析:跟调和平均数类似,假设路程为1,则(1/7)-(1/9)对应2V水,假设漂流时间=2/[(1/7)-(1/9)]=63小时,选C



巩固练习:


例7:某市气象局观测发现,今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%,而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少?  【国家2012】

A、9.5%     B、10%     C、9.9%    D、10.5% 

析:跟等费用求平均价格类似;增长量(积一定)=去年对应季度降水量(基期)×增长率,今年第一季度降水量x1、今年上半年平均降水量(x1+x2)/2、今年第二季度降水量x2呈等差,2/[(1/11)+(1/9)]=9.9,选C

还可以理解为:假设降水增量为1,2/[(1/11)+(1/9)]=9.9。


例8:一支600米长的队伍行军,队尾的通讯员要与最前面的连长联系,他用3分钟跑步追上了连长,又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾,用了2分24秒,如队伍和通讯员均匀速前进,则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间?  【安徽2012】

A.48秒    B.1分钟   C.1分48秒   D.2分钟 

析:队伍总长度(积一定)=速度×时间,追击速度(V通-V队)、V通、相遇速度V通+V队)三者呈等差,1/[(2/2.4)-(1/3)]=2,选D

 

例9:骑自行车从甲地到乙地,以10千米/小时的速度进行,下午1点到乙地;以15千米/小时的速度行进,上午11点到乙地。如果希望中午12点到,那么应以怎样的速度行进?    【北京2009社招】

A. 11千米/小时    B. 12千米/小时    C. 12.5千米/小时    D. 13.5千米/小时 

析:路程(积一定)=速度×时间,总路程不变,设出发时间为上午t点,把下午1点看做13点,则下午一点到所需时间(13-t)、12点到所需时间(12-t)、11点到所需时间(11-t)三者呈等差,2/[(1/10)+(1/15)]=12,选B


例10:某人以一定的速度沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒,而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶部只用了1分30秒,如果此人不走,那么乘自动扶梯多久从底部到顶部?

A、2.5     B、3     C、3.25   D、3.75

析:类似于漂流问题,2/[(1/1.5)-(1/7.5)]=3.75,选D


例11:某人以一定的速度沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒,而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶部只用了1分30秒,如果停电了,那么此人多久从底部步行到顶部?

A、2.5     B、3     C、3.25   D、3.75

析:2/[(1/1.5)+(1/7.5)]=2.5,选A



调和平均数在行程问题里,拓展以后有非常多的应用,尤其是变时运动和变速运动里,“叠加思想”是一种非常好用的思想,因为公考数量难度有限,只作适当拓展。


例12:小明步行从家去学校,如果每分钟走30米,则迟到3分钟;如果每分钟走75米,则提前6分钟;如果小明要准时到校,则速度为多少?

A、60米/分     B、34.5米/分     C、37.5米/分     D、40米/分

析:每分钟30米的走两次、每分钟75米的走一次,相当于共走了3个全程,刚好按时到达,所以平均速度就是准时到校的速度,3/[(2/30)+(1/75)]=37.5,选C



例13:小明步行从家去学校,如果每分钟走45米,则迟到6分钟;如果每分钟走75米,则迟到3分钟;如果小明要准时到校,则速度为多少?

A、60米/分     B、90米/分     C、135米/分     D、225米/分

析:每分钟45米的走一次、正常速度走一次,相当于每分钟75米的走两次(都是迟到6分钟),平均速度相同,1/[(2/75)-(1/45)]=225,选D


 

例14:已知甲的速度为60米/分钟、乙的速度为40米/分钟,现甲乙分别从AB两地同时出发相向而行,在C点相遇;如果乙提前1分钟出发,则在D点相遇;已知C、D两点到中点的距离相同,求AB的路程?

A.60米     B.90米    C.120米    D.240米

析:两次过程叠加,则甲乙合走了两个全程、刚好在中点相遇,相当于甲乙各走一个全程,甲少用1分钟,所以全程=1/[(1/40)-(1/60)]=120米,选C

最后一步也可以根据(s/40)-(s/60)=1,s=120米。


例15:已知甲车速度为每小时90千米,乙车速度为每小时60千米,甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行,在途径C地时乙车比甲车早到10分钟;第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地,在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时,那么AB距离是多少?

A.180    B.240    C.270    D.360

析:甲走AC比乙走BC多用10分钟,甲走BC比乙走AC少用90分钟,两次叠加,相当于甲走全程比乙少用80分钟。(90-10)/[(1/1)-(1/1.5)]=240千米,选B


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