356 浏览1、 关于三个量构成调和平均数，很多同学把这个知识点看的很复杂，其实本质就是一个等差数列。
2、什么情况下能使用调和平均数？
数学表达式C＝A×B，C不变，A等差，B调和。即2个数相乘，积不变，其中一个因数等差，另外一个因数调和。
关键：找出等差的三个量，比如DEF呈等差数列，有2E=D+F、D=2E-F，F=2E-D，表示成这种形式，再计算即可。
3、常见的调和平均数：10、12、15、20、30、60（扩大或者缩小相同的倍数也一样），可以记一下常用的调和数列，非常常用。
例1：某种溶液的浓度为20%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液浓度变为： 【江苏B2012】
A. 13% B. 12.5% C. 12% D. 10%
析：
解法一：溶质（积一定）=浓度×溶液，溶液呈等差，假设溶质为1，都省去百分号，根据第一次加水后的溶液质量×2=（初始溶液质量）+（第二次加水后的溶液质量），可得2/15=（1/20）+（1/x），x=1/[（2/15）-（1/20）]=12，选C
解法二：特值溶液为300克，则初始溶质为60克，加水后溶质不变、溶液=60/15%=400克，所以加水400-300=100克，再加水100克，溶液变为500克，浓度=60/500=12%，选C
解法三：12、15、20为调和数列，选C
例2：一个容器内有若干克盐水。往容器内加入一些水，溶液的浓度变为3%，再加入同样多的水，溶液的浓度为x%，问第三次再加入同样多的水后，溶液的浓度为1.5%，则x的值为？
A、2% B、1.8% C、1.6% D、1.2%
析：溶质（积一定）=浓度×溶液，溶液呈等差，假设溶质为1，可得2/x=（1/3）+（1/1.5），x=2/[（1/3）+（1/1.5）]=2，选A
4、利用调和平均数的五类常见题型：
①等距离求平均速度
例1：一个人骑自行车过桥，上桥的速度为每小时12公里，下桥的速度为每小时24公里。上下桥所经过的路程相等，中间没有停顿。问此人过桥的平均速度是多少？ 【天津2007】
A.14公里/小时 B.16公里/小时 C.18公里/小时 D.20公里/小时
析：路程（积一定）=速度×时间，假设全程是1，上桥时间t1、平均时间（t1+t2）/2 、下桥时间t2三个量呈等差，2/x=（1/12）+（1/24），x=2/[（1/12）+（1/24）]=2/（3/24）=16，选B
还可以理解为：假设全程是1，平均速度=总路程/总时间=2/[（1/12）+（1/24）]=2/（3/24）=16。
②等间隔路程求发车时间
例2：某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔？ 【黑龙江2010】
A.2分钟 B.4分钟 C.6分钟 D.8分钟
析：
解法一：两车间的路程（一定）=速度×时间，从后面追上属于追击问题，速度差（V车-V人）；从正面相遇属于相遇问题，速度和（V车+V人）；三个量（V车-V人）、V车、（V车+V人）呈等差，假设相邻两车间距为1，则（1/12）+（1/4）对应2V车，2/[（1/12）+（1/4）]=6，选C
解法二：路程一定，速度与时间呈反比，速度差：速度和=4:12=1:3，车速2份，路程=1×12=12份，发车间隔=12/2=6，选C
③等费用求平均价格
例3：商店购进甲、乙两种不同的糖所用的钱数相等，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克4元。如果把这两种糖混在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？ 【北京2005】
A、3.5 B、4.2 C、4.8 D、5
析：总价（积一定）=单价×数量，甲的数量a、平均数量（a+b）/2、乙的数量b三者呈等差，2/[（1/6）+（1/4）]=4.8，选C
还可以理解为：假设两种糖都买了1元钱的，平均成本=总钱数/总千克数=2/ [（1/6）+（1/4）]=4.8。
④等溶质稀释求浓度
例4：一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10％；再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12％；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？ 【国家2009】
A.14％ B.17％ C.16％ D.15％
析：溶质（不变）=溶液×浓度，溶质质量不变，第一次蒸发后溶液质量m1、第二次蒸发后溶液质量m1-x、第三次蒸发后溶液质量m1-2x三者呈等差，假设溶质为1，1/[（2/12）-（1/10）]=15，选D
⑤静水行船问题
例5：一艘游轮从甲港口顺水航行至乙港口需7小时，从乙港口逆水航行至甲港口需9小时。问如果在静水条件下，游轮从甲港口航行至乙港口需多少小时？ 【浙江2011】
A、7.75小时 B、7.875小时 C、8小时 D、8.25小时
析：路程（积一定）=速度×时间，顺水速度、静水速度、逆水速度呈等差，假设路程为1，则（1/7）+（1/9）对应2V静，2/[（1/7）+（1/9）]=7.875，选B
【类似的漂流问题】
例6：一艘游轮从甲港口顺水航行至乙港口需7小时，从乙港口逆水航行至甲港口需9小时。问如果满足漂流条件，一个瓶子从甲港口漂流行至乙港口需多少小时？
A、7.75小时 B、7.875小时 C、63小时 D、126小时
析：跟调和平均数类似，假设路程为1，则（1/7）-（1/9）对应2V水，假设漂流时间=2/[（1/7）-（1/9）]=63小时，选C
巩固练习：
例7：某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？ 【国家2012】
A、9.5% B、10% C、9.9% D、10.5%
析：跟等费用求平均价格类似；增长量（积一定）=去年对应季度降水量（基期）×增长率，今年第一季度降水量x1、今年上半年平均降水量（x1+x2）/2、今年第二季度降水量x2呈等差，2/[（1/11）+（1/9）]=9.9，选C
还可以理解为：假设降水增量为1，2/[（1/11）+（1/9）]=9.9。
例8：一支600米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了2分24秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间？ 【安徽2012】
A.48秒 B.1分钟 C.1分48秒 D.2分钟
析：队伍总长度（积一定）=速度×时间，追击速度（V通-V队）、V通、相遇速度V通+V队）三者呈等差，1/[（2/2.4）-（1/3）]=2，选D
例9：骑自行车从甲地到乙地，以10千米/小时的速度进行，下午1点到乙地；以15千米/小时的速度行进，上午11点到乙地。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？ 【北京2009社招】
A. 11千米/小时 B. 12千米/小时 C. 12.5千米/小时 D. 13.5千米/小时
析：路程（积一定）=速度×时间，总路程不变，设出发时间为上午t点，把下午1点看做13点，则下午一点到所需时间（13-t）、12点到所需时间（12-t）、11点到所需时间（11-t）三者呈等差，2/[（1/10）+（1/15）]=12，选B
例10：某人以一定的速度沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶部只用了1分30秒，如果此人不走，那么乘自动扶梯多久从底部到顶部？
A、2.5 B、3 C、3.25 D、3.75
析：类似于漂流问题，2/[（1/1.5）-（1/7.5）]=3.75，选D
例11：某人以一定的速度沿着向上移动的自动扶梯从顶部朝底下用了7分30秒，而他沿着自动扶梯从底部向上走到顶部只用了1分30秒，如果停电了，那么此人多久从底部步行到顶部？
A、2.5 B、3 C、3.25 D、3.75
析：2/[（1/1.5）+（1/7.5）]=2.5，选A
调和平均数在行程问题里，拓展以后有非常多的应用，尤其是变时运动和变速运动里，“叠加思想”是一种非常好用的思想，因为公考数量难度有限，只作适当拓展。
例12：小明步行从家去学校，如果每分钟走30米，则迟到3分钟；如果每分钟走75米，则提前6分钟；如果小明要准时到校，则速度为多少？
A、60米/分 B、34.5米/分 C、37.5米/分 D、40米/分
析：每分钟30米的走两次、每分钟75米的走一次，相当于共走了3个全程，刚好按时到达，所以平均速度就是准时到校的速度，3/[（2/30）+（1/75）]=37.5，选C
例13：小明步行从家去学校，如果每分钟走45米，则迟到6分钟；如果每分钟走75米，则迟到3分钟；如果小明要准时到校，则速度为多少？
A、60米/分 B、90米/分 C、135米/分 D、225米/分
析：每分钟45米的走一次、正常速度走一次，相当于每分钟75米的走两次（都是迟到6分钟），平均速度相同，1/[（2/75）-（1/45）]=225，选D
例14：已知甲的速度为60米/分钟、乙的速度为40米/分钟，现甲乙分别从AB两地同时出发相向而行，在C点相遇；如果乙提前1分钟出发，则在D点相遇；已知C、D两点到中点的距离相同，求AB的路程？
A.60米 B.90米 C.120米 D.240米
析：两次过程叠加，则甲乙合走了两个全程、刚好在中点相遇，相当于甲乙各走一个全程，甲少用1分钟，所以全程=1/[（1/40）-（1/60）]=120米，选C
最后一步也可以根据（s/40）-（s/60）=1，s=120米。
例15：已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？
A.180 B.240 C.270 D.360
析：甲走AC比乙走BC多用10分钟，甲走BC比乙走AC少用90分钟，两次叠加，相当于甲走全程比乙少用80分钟。（90-10）/[（1/1）-（1/1.5）]=240千米，选B
