308 浏览一、单人走停
例1：某人登山，上山时每走30分钟，休息10分钟；下山时每走30分钟，休息5分钟；下山的速度是上山速度的1.5倍。如果下山用了2小时15分，那么上山用的时间是（ ）。 【福建2009】
A. 3小时40分 B. 3小时50分 C. 4小时 D. 4小时10分
析：下山30+5,相当于35分钟一个周期，用了2小时15分=135分，走了3个周期+30分钟，所以实际走的时间=3*30+30=120分钟；速度比下山：上山=3:2，所以相同路程时间比下山：上山=2:3，所以上山需要的时间=120*3/2=180。上山30，所以相当于走六次休息五次（最后一次已经到了山顶，不用休息），所以总时间=180+5*10=230分钟，选B
例2：甲、乙两人骑车在路上追逐，甲的速度为27千米/小时，每骑5分钟休息1分钟，乙的速度是300米/分，现在已知乙先行1650米，甲开始追乙，甲追到乙所需的时间是（ ）。
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 16分钟 D. 17分钟
析：甲速度为27千米/小时=450米/分，所以甲5分钟反超乙（450*5-300*5）=750、6分钟反超乙（450*5=300*6）=450，我们把750拿出来单独考虑，六分钟一个周期，则前面需要（1650-750）/450=2个周期=12分钟，最后差750需要5分钟，所以共17分钟，选D
例3：甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9：00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？ 【国家2012】
A. 10：20 B. 12：10 C. 14：30 D. 16：10
析：青蛙爬井问题，设速度甲5乙2，每半小时甲可以反超乙1.5，每一小时甲可以反超乙2.5-2=0.5，提前出发两小时所以比甲多走了2*2=4,（4-1.5）/0.5=5小时，5小时反超了2.5，再加上最后半小时超的1.5刚好是4，所以总共用了5个半小时，9+5.5=14.5，所以选C
例:3变式：甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7：00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9：10才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的3倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？
A. 12：30 B. 12：50 C. 13：15 D. 14：20
析：青蛙爬井问题变式，需要注意前面反追时的每个周期都要为整数。设速度甲18乙6，每半小时可以反超乙6，每一小时可以反超乙9-6=3，乙提前出发2小时10分钟所以多走了13，（13-6）/3=7/3，一小时为一个周期，所以周期必为整数，这里我们取3，所以3小时甲反超了乙3*3=9，还差13-9=4，半小时反超6所以反超4只需20分钟，总共需要3小时+20分钟，选A
二、两人走停
①相遇型
例1：绕湖的一周是22千米，甲乙两人从湖的一边某一地点同时出发反向而行，甲以4千米／时的速度每走一小时后休息5分钟，乙以6千米／时的速度每走50分钟休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用多少时间？
A．2小时12分钟 B．2小时20分钟 C．2小时28分钟 D．2小时30分钟
析：甲走一小时休息5分钟，65分钟一个周期、走4千米；乙走50分钟休息10分钟，60分钟一个周期、走6*（50/60）=5千米；我们先代入B，140分钟=65*2+10，相当于甲走了两个周期（8千米）+10分钟（4/6=2/3千米），140分钟=60*2+20，相当于乙走了两个周期（10千米）+20分钟（2千米）；则两人共走8+（2/3）+10+2=20+（2/3）小于22；再看D，再走10分钟，甲又走了2/3，乙又走了1，总共20+2/3+2/3+1＞22，选C
②同时到终点型
例1：甲和乙同住在一幢楼，他们同时出发骑车去图书馆，又同时到达图书馆，但途中甲休息的时间是乙骑车时间的1/3，而乙休息的时间是甲骑车时间的1/4，甲和乙骑车的速度比是（ ）。 【上海2013】
A.12:7 B.9:8 C.4:3 D.6:5
析：
解法一：设甲骑车的时间为x，乙骑车的时间为y，根据总时间相同可得x＋（y/3）＝y＋（x/4），进而得到x:y＝8:9，时间比为8:9，则速度比为9:8，选B
解法二：设甲骑车时间为4、则乙休息时间为1，差了3；设乙骑车时间：甲休息时间=3:1，差了两份=3，可得乙骑车时间为3份=4.5，,所以甲骑车时间：乙骑车时间=4:4.5=8:9，速度比为9:8，选B
③追击型
（一）有终点型
例：龟兔赛跑，全程5.2千米。兔子每小时跑20千米，乌龟每小时跑3千米。乌龟不停的跑，但兔子一边跑一边玩，它先跑一分钟然后玩十五分钟，又跑2分钟然后玩上十五分钟……、如此循环，问先到的比后到的快几分钟？
A、104分钟 B、90.6分钟 C、15.6分钟 D、13.4分钟
析：乌龟跑完全程需要的时间=（5.2/3）*60=104分钟；兔子连续跑的话跑完全程需要的时间=（5.2/20）*60=15.6分钟=1+2+3+4+5+1.6，休息了5次=75分钟，所以兔子需要的总时间=15.6+75=90.6分钟，先到的要快104-90.6=13.4分钟，选D
（二）无终点型
例1：环形跑道周长是500米，甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑，甲每分钟跑60米，乙每分钟跑50米，甲、乙两人每跑200米均要停下来休息1分钟，那么甲首次追上乙需要多少分钟? 【福建2005】
A. 60 B. 36 C. 77 D. 103
析：
解法一：遇到走走停停问题我们依次代入选项中大小排序处于中间的两个数，甲跑200米需要200/60=10/3分钟，加上休息的1分钟，相当于13/3分钟一个周期，乙跑200米需要4分钟，加上休息的1分钟，相当于5分钟一个周期。
我们先代入A，60=180/3=13*（13/3）+11/3,相当于甲走了13个周期（13*200=2600米）+11/3分钟（其中走了10/3分钟走了200米），所以甲走了2800米。60=12*5，相当于乙走了12个周期（12*200=2400），所以乙走了2400，比甲少走了400米，所以显然60分钟是追不上的。
我们再代入C，77=231/3=17*（13/3）+10/3，相当于甲走了17个周期（17*200=3400米）+10/3分钟（200米），所以甲走了3600米。77=15*5+2，相当于乙走了15个周期（15*200=3000）+2分钟（2*50=100），所以乙走了3100米，比甲少走了500米，刚好追上，选C
解法二：假设甲追上乙的时候乙走了x米，所以甲走了（x+500）米，所以甲比乙多休息两次=2分钟，根据时间相等可得方程(x+500)/60 + 2 = x/50 , 解得x=3100米，说明相遇时乙走了3100米，3100/200=15…100，所以乙要休息15次=15分钟，乙走3100需要的时间=3100/50=62分钟，加上休息的15分钟，共77分钟
通过对比两种方法我们很容易得出解法二要简单高效地多，但是这种解法是有局限性的，我们通过以下几个题目来分析。
例2：哥哥和弟弟在一周长为800米的环形跑道上赛跑，已知哥哥每分钟跑60米，弟弟每分钟跑40米。现在哥哥和弟弟沿着跑道同时、同地、同向起跑，且二人每跑200米都要停下来休息2分钟，那么（ ）分钟后哥哥第一次追上弟弟。 【山西2008】
A. 78 B. 80 C. 82 D. 84
析：
解法一：哥哥跑200米需要的时间=200/60=10/3，加上休息的2分钟，相当于16/3分钟一个周期。弟弟跑200米需要5分钟，加上休息的2分钟，相当于7分钟一个周期我们先代入B，80=240/3=15*(16/3),相当于哥哥走了15个周期（15*200=3000米）。80=11*7+3，相当于弟弟走了11个周期（11*200=2200）+3分钟（120米），所以弟弟走了2320米，比哥哥少走了680米，还差了120米，所以80秒是显然追不上的。
我们再代入C，接着上一步哥哥走了15个周期（3000米）+2分钟（120米），所以哥哥走了3120米。82=11*7+5，相当于弟弟走了11个周期（2200米）+5分钟（200米），所以弟弟走了2200+200=2400米，比哥哥少走了720米，还差80米，所以82秒也是追不上的，到这里我们就可以锁定答案为D了。
关于代入选项C的时候，其实还可以这样理解，因为代入B的时候差了120，接下来如果哥哥连续走2分钟，弟弟连续休息2分钟的话，哥哥刚好又比弟弟多走了120，这时刚好能追上，但是在选项B中弟弟走了11个周期+3分钟，接下来弟弟肯定还是要继续走的，所以82秒肯定是追不上的。
我们不妨再验证一下选项D，加深理解，紧接着选项C，我们可以看到弟弟在82的时候走了11个周期+5分钟，也就是说接下来的2分钟弟弟都是在休息的，但是哥哥走了15个周期+2分钟，接下来的2分钟哥哥还是在不断行走的，C中82秒走完哥哥和弟弟还差的那80米甲只需再走80/60=4/3分钟就可以了。
问题又出来了，为什么D选项给的不是82+4/3分钟，给的却是84分钟呢，我们就用这个84着手进行分析，84=15*（16/3）+4，相当于哥哥走了15个周期（3000米）加上4分钟（其中10/3是走的200米，剩下2/3分钟是哥哥休息度过的），所以哥哥走了3200米。84=12*7，弟弟走了12个周期（2400米），比哥哥刚好差了800米，乍一看来84分钟这个答案没什么问题，但是仔细想想这是不符合实际的，哥哥第一次追上弟弟，要么是两人共同行走时追上，要么是哥哥走弟弟休息时追上，不可能第一次追上的时候哥哥处于休息中的状态（这里注意还有一种极端情况：哥哥追上了弟弟后，哥哥接着休息，然后被弟弟反超，哥哥休息完再次追上弟弟，但是这种情况公考从未出现过）。理解了这些，我们再来理解解法二为什么不具有普遍性就会容易得多了。
解法二： 哥哥追上弟弟时，比弟弟多走了800米，理论上来说哥哥应该多休息了4次，我们还是分两种情况：
一种是最好的情况，哥哥刚追上弟弟那一瞬间，弟弟刚休息结束而哥哥刚要休息，相当于哥哥比弟弟多休息了3次=6分钟，这时候花的时间必然是最少的，设追上时弟弟走了x米，哥哥走了(x+800)米，根据时间相同可得方程(x+800)/60+6=x/40,解得x=2320,2320/200=11…120，弟弟要休息11次=22分钟，弟弟走2320米需要的时间=2320/40=58分钟,所以弟弟总共用了22+58=80分钟。
另一种是最坏的情况，哥哥追上弟弟那一瞬间，哥哥追上弟弟的时候弟弟也在行走，相当于哥哥比弟弟多休息了4次=8分钟，这时候花的时间必然是最多的，设追上时弟弟走了x米，哥哥走了(x+800)米，根据时间相同可得方程(x+800)/60+8=x/40,解得x=2560,2560/200=12…160，弟弟要休息12次=24分钟，弟弟走2560米需要的时间=2560/40=64分钟,所以弟弟总共用了24+64=88分钟。
可以看到最终的正确答案是介于80和88之间的，为什么会介于这两个数之间，因为实际的情况是哥哥追上弟弟的时候，弟弟只休息了一部分时间（不到两分钟），所以哥哥比弟弟多休息的时间是介于6分钟-8分钟的，这也是为什么解法二算出的结果不一定准确的原因！
所以应对这类走走停停的追击问题，我们可以这样考虑：如果选项之间的差别比较大，比如说例1，我们可以大胆采用解法二，算出一个值，然后选择跟这个值最接近的数，如果选项之间的差别不大，我们就用解法一代入进行检验两个选项，确定最终答案！
例3：在400米环形跑道上，A、B两点最近相距100米（如图）。甲、乙两位运动员分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑9米，乙每秒7米，他们每人跑100米都停5秒，那么甲追上乙需要多少秒？ 【云南2009】
A. 70 B. 65 C. 75 D. 80
析：这个100米是最近距离，但是A和B的实际距离肯定是要大于100米的，我们不妨先按照100米进行计算。
根据选项差别不大，我们选择解法一，甲跑100米需要的时间=100/9秒，加上休息的5秒，相当于145/9秒一个周期。乙跑100米需要的时间=100/7秒，加上休息的5秒，相当于135/7秒一个周期。
我们带入选项A，70=630/9=4*(145/9)+50/9，相当于甲走了4个周期（400米）+50/9秒（50米），所以甲共走了450米，70=490/7=3*（135/7）+85/7，相当于乙走了3个周期（300米）+85/7秒（走了85米），所以乙共走了385米，甲还差35米才追上乙。
代入选项C，75=675/9=4*(145/9)+95/9，相当于甲走了4个周期（400米）+95/9秒（95米），所以甲共走了495米
75=525/7=3*(135/7)+120/7，相当于乙走了3个周期（300米）+120/7秒（100/7秒走了100米，剩下的20/7休息），所以乙共走了300+100=400米，甲还差5米才能追上乙，另外考虑100米是甲乙间的直线距离，而实际距离是大于100米的，只能选D
例4：在200米环形跑道上，甲乙两人从同一个点出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，甲每跑100米停5秒，乙每跑30米停10秒，那么，甲追上乙一周需多少秒？
A.50 B.61 C.72 D.80
析：这个题目乍一看选项差距比较大，但是题目中甲乙跑的米数和休息的时间数都是不一样的，用解法二比较繁琐，我们仍旧选择解法一，甲跑100米需要的时间=100/7，加上休息的5秒，为135/7秒一个周期。乙跑30米需要的时间=6秒，加上休息的10秒，为16秒一个周期。代入B选项， 61=427/7=3*(135/7)+22/7，所以甲走了3个周期（300米）+22/7秒（22米），甲一共走了322米。61=3*16+13，相当于甲走了3个周期（90米）+13秒（6秒走了30米，休息了7秒），乙一共走了120米，甲比乙多走了202米，所以选B
留下两道奥数题作为巩固。
例5：在一条长400米的环形跑道上,A、B两点相距200米,,甲乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒，那么，甲追上乙要几秒？
A.120 B.150 C.180 D.210
析：选项之间差距比较大，我们选择解法二。设乙走了x米被甲追上，则甲走了（200+x）米，代入最有利的情况，甲刚要休息而乙刚休息结束，所以甲比乙多走的200米相当于比乙多休息了一次，(x+200)/7 + 5= x/5,解得x=1175/2=587.5米,所以乙休息了五次，乙走1175/2米的时间=1175/10=117.5，再加上休息五次的25秒=142.5秒，实际值应该比这个略大，选择B
例6：在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米。甲乙两人分别从AB两点同时出发,按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？
A.130 B.135 C.140 D.145
析：根据选项差距我们选择解法一，甲跑100米需要的时间为100/5=20秒，加上休息的10秒，为30秒一个周期。乙跑100米需要的时间为100/4=25秒，加上休息的10秒，为35秒一个周期。
我们先代入选项B，135=4*30+15，相当于甲走了4个周期（400米）+15秒（75米），所以甲共走了475米。135=3*35+30，相当于乙走了3个周期（300米）+30秒（25秒走了100米，休息了5秒），乙共走了400米，所以甲离乙还有25米，135秒时没有追上。
代入选项C，接着选项B进行分析，此时乙休息了5秒，所以还需要继续休息5秒，所以135-140这段时间里乙都是在休息的，甲走了4个周期+15秒，所以甲135-140这段时间里是一直在走的，135秒的时候甲和乙差的25米需要25/5=5秒就可以追上，所以140秒的时候刚好追上，选C
此题比较特殊，甲追上乙时甲刚好要休息而乙刚好休息完，与解法二用最有利情况算得的结果完全一致。
(x+100)/5 = x/4解得x=400,所以乙的时间=400/4+休息了四次的40分钟=140分钟
