走走停停问题专题

2022-03-27 21:07 54 浏览

一、单人走停

例1:某人登山,上山时每走30分钟,休息10分钟;下山时每走30分钟,休息5分钟;下山的速度是上山速度的1.5倍。如果下山用了2小时15分,那么上山用的时间是(    )。     【福建2009】

A. 3小时40分     B. 3小时50分     C. 4小时     D. 4小时10分

析:下山30+5,相当于35分钟一个周期,用了2小时15分=135分,走了3个周期+30分钟,所以实际走的时间=3*30+30=120分钟;速度比下山:上山=3:2,所以相同路程时间比下山:上山=2:3,所以上山需要的时间=120*3/2=180。上山30,所以相当于走六次休息五次(最后一次已经到了山顶,不用休息),所以总时间=180+5*10=230分钟,选B


例2:甲、乙两人骑车在路上追逐,甲的速度为27千米/小时,每骑5分钟休息1分钟,乙的速度是300米/分,现在已知乙先行1650米,甲开始追乙,甲追到乙所需的时间是(    )。

A. 10分钟      B. 15分钟     C. 16分钟     D. 17分钟

析:甲速度为27千米/小时=450米/分,所以甲5分钟反超乙(450*5-300*5)=750、6分钟反超乙(450*5=300*6)=450,我们把750拿出来单独考虑,六分钟一个周期,则前面需要(1650-750)/450=2个周期=12分钟,最后差750需要5分钟,所以共17分钟,选D


例3:甲乙两人计划从A地步行去B地,乙早上7:00出发,匀速步行前往,甲因事耽搁,9:00才出发。为了追上乙,甲决定跑步前进,跑步的速度是乙步行速度的2.5倍,但每跑半小时都需要休息半小时,那么甲什么时候才能追上乙?   【国家2012】

A. 10:20      B. 12:10      C. 14:30       D. 16:10

析:青蛙爬井问题,设速度甲5乙2,每半小时甲可以反超乙1.5,每一小时甲可以反超乙2.5-2=0.5,提前出发两小时所以比甲多走了2*2=4,(4-1.5)/0.5=5小时,5小时反超了2.5,再加上最后半小时超的1.5刚好是4,所以总共用了5个半小时,9+5.5=14.5,所以选C


例:3变式:甲乙两人计划从A地步行去B地,乙早上7:00出发,匀速步行前往,甲因事耽搁,9:10才出发。为了追上乙,甲决定跑步前进,跑步的速度是乙步行速度的3倍,但每跑半小时都需要休息半小时,那么甲什么时候才能追上乙?

A. 12:30      B. 12:50      C. 13:15       D. 14:20  

析:青蛙爬井问题变式,需要注意前面反追时的每个周期都要为整数。设速度甲18乙6,每半小时可以反超乙6,每一小时可以反超乙9-6=3,乙提前出发2小时10分钟所以多走了13,(13-6)/3=7/3,一小时为一个周期,所以周期必为整数,这里我们取3,所以3小时甲反超了乙3*3=9,还差13-9=4,半小时反超6所以反超4只需20分钟,总共需要3小时+20分钟,选A


二、两人走停


①相遇型


例1:绕湖的一周是22千米,甲乙两人从湖的一边某一地点同时出发反向而行,甲以4千米/时的速度每走一小时后休息5分钟,乙以6千米/时的速度每走50分钟休息10分钟,则两人从出发到第一次相遇用多少时间?

A.2小时12分钟    B.2小时20分钟    C.2小时28分钟  D.2小时30分钟

析:甲走一小时休息5分钟,65分钟一个周期、走4千米;乙走50分钟休息10分钟,60分钟一个周期、走6*(50/60)=5千米;我们先代入B,140分钟=65*2+10,相当于甲走了两个周期(8千米)+10分钟(4/6=2/3千米),140分钟=60*2+20,相当于乙走了两个周期(10千米)+20分钟(2千米);则两人共走8+(2/3)+10+2=20+(2/3)小于22;再看D,再走10分钟,甲又走了2/3,乙又走了1,总共20+2/3+2/3+1>22,选C


②同时到终点型


例1:甲和乙同住在一幢楼,他们同时出发骑车去图书馆,又同时到达图书馆,但途中甲休息的时间是乙骑车时间的1/3,而乙休息的时间是甲骑车时间的1/4,甲和乙骑车的速度比是(    )。   【上海2013】

A.12:7    B.9:8     C.4:3    D.6:5

析:

解法一:设甲骑车的时间为x,乙骑车的时间为y,根据总时间相同可得x+(y/3)=y+(x/4),进而得到x:y=8:9,时间比为8:9,则速度比为9:8,选B

解法二:设甲骑车时间为4、则乙休息时间为1,差了3;设乙骑车时间:甲休息时间=3:1,差了两份=3,可得乙骑车时间为3份=4.5,,所以甲骑车时间:乙骑车时间=4:4.5=8:9,速度比为9:8,选B



③追击型


(一)有终点型

例:龟兔赛跑,全程5.2千米。兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米。乌龟不停的跑,但兔子一边跑一边玩,它先跑一分钟然后玩十五分钟,又跑2分钟然后玩上十五分钟……、如此循环,问先到的比后到的快几分钟?

A、104分钟   B、90.6分钟   C、15.6分钟    D、13.4分钟

析:乌龟跑完全程需要的时间=(5.2/3)*60=104分钟;兔子连续跑的话跑完全程需要的时间=(5.2/20)*60=15.6分钟=1+2+3+4+5+1.6,休息了5次=75分钟,所以兔子需要的总时间=15.6+75=90.6分钟,先到的要快104-90.6=13.4分钟,选D



(二)无终点型

例1:环形跑道周长是500米,甲、乙两人按顺时针沿环形跑道同时、同地起跑,甲每分钟跑60米,乙每分钟跑50米,甲、乙两人每跑200米均要停下来休息1分钟,那么甲首次追上乙需要多少分钟?   【福建2005】

A. 60     B. 36     C. 77    D. 103

析:

解法一:遇到走走停停问题我们依次代入选项中大小排序处于中间的两个数,甲跑200米需要200/60=10/3分钟,加上休息的1分钟,相当于13/3分钟一个周期,乙跑200米需要4分钟,加上休息的1分钟,相当于5分钟一个周期。

我们先代入A,60=180/3=13*(13/3)+11/3,相当于甲走了13个周期(13*200=2600米)+11/3分钟(其中走了10/3分钟走了200米),所以甲走了2800米。60=12*5,相当于乙走了12个周期(12*200=2400),所以乙走了2400,比甲少走了400米,所以显然60分钟是追不上的。

我们再代入C,77=231/3=17*(13/3)+10/3,相当于甲走了17个周期(17*200=3400米)+10/3分钟(200米),所以甲走了3600米。77=15*5+2,相当于乙走了15个周期(15*200=3000)+2分钟(2*50=100),所以乙走了3100米,比甲少走了500米,刚好追上,选C


解法二:假设甲追上乙的时候乙走了x米,所以甲走了(x+500)米,所以甲比乙多休息两次=2分钟,根据时间相等可得方程(x+500)/60 + 2 = x/50 , 解得x=3100米,说明相遇时乙走了3100米,3100/200=15…100,所以乙要休息15次=15分钟,乙走3100需要的时间=3100/50=62分钟,加上休息的15分钟,共77分钟

通过对比两种方法我们很容易得出解法二要简单高效地多,但是这种解法是有局限性的,我们通过以下几个题目来分析。


例2:哥哥和弟弟在一周长为800米的环形跑道上赛跑,已知哥哥每分钟跑60米,弟弟每分钟跑40米。现在哥哥和弟弟沿着跑道同时、同地、同向起跑,且二人每跑200米都要停下来休息2分钟,那么(  )分钟后哥哥第一次追上弟弟。   【山西2008】

A. 78   B. 80   C. 82   D. 84

析:

解法一:哥哥跑200米需要的时间=200/60=10/3,加上休息的2分钟,相当于16/3分钟一个周期。弟弟跑200米需要5分钟,加上休息的2分钟,相当于7分钟一个周期我们先代入B,80=240/3=15*(16/3),相当于哥哥走了15个周期(15*200=3000米)。80=11*7+3,相当于弟弟走了11个周期(11*200=2200)+3分钟(120米),所以弟弟走了2320米,比哥哥少走了680米,还差了120米,所以80秒是显然追不上的。

我们再代入C,接着上一步哥哥走了15个周期(3000米)+2分钟(120米),所以哥哥走了3120米。82=11*7+5,相当于弟弟走了11个周期(2200米)+5分钟(200米),所以弟弟走了2200+200=2400米,比哥哥少走了720米,还差80米,所以82秒也是追不上的,到这里我们就可以锁定答案为D了。

关于代入选项C的时候,其实还可以这样理解,因为代入B的时候差了120,接下来如果哥哥连续走2分钟,弟弟连续休息2分钟的话,哥哥刚好又比弟弟多走了120,这时刚好能追上,但是在选项B中弟弟走了11个周期+3分钟,接下来弟弟肯定还是要继续走的,所以82秒肯定是追不上的。

我们不妨再验证一下选项D,加深理解,紧接着选项C,我们可以看到弟弟在82的时候走了11个周期+5分钟,也就是说接下来的2分钟弟弟都是在休息的,但是哥哥走了15个周期+2分钟,接下来的2分钟哥哥还是在不断行走的,C中82秒走完哥哥和弟弟还差的那80米甲只需再走80/60=4/3分钟就可以了。

问题又出来了,为什么D选项给的不是82+4/3分钟,给的却是84分钟呢,我们就用这个84着手进行分析,84=15*(16/3)+4,相当于哥哥走了15个周期(3000米)加上4分钟(其中10/3是走的200米,剩下2/3分钟是哥哥休息度过的),所以哥哥走了3200米。84=12*7,弟弟走了12个周期(2400米),比哥哥刚好差了800米,乍一看来84分钟这个答案没什么问题,但是仔细想想这是不符合实际的,哥哥第一次追上弟弟,要么是两人共同行走时追上,要么是哥哥走弟弟休息时追上,不可能第一次追上的时候哥哥处于休息中的状态(这里注意还有一种极端情况:哥哥追上了弟弟后,哥哥接着休息,然后被弟弟反超,哥哥休息完再次追上弟弟,但是这种情况公考从未出现过)。理解了这些,我们再来理解解法二为什么不具有普遍性就会容易得多了。


解法二: 哥哥追上弟弟时,比弟弟多走了800米,理论上来说哥哥应该多休息了4次,我们还是分两种情况:

一种是最好的情况,哥哥刚追上弟弟那一瞬间,弟弟刚休息结束而哥哥刚要休息,相当于哥哥比弟弟多休息了3次=6分钟,这时候花的时间必然是最少的,设追上时弟弟走了x米,哥哥走了(x+800)米,根据时间相同可得方程(x+800)/60+6=x/40,解得x=2320,2320/200=11…120,弟弟要休息11次=22分钟,弟弟走2320米需要的时间=2320/40=58分钟,所以弟弟总共用了22+58=80分钟。

另一种是最坏的情况,哥哥追上弟弟那一瞬间,哥哥追上弟弟的时候弟弟也在行走,相当于哥哥比弟弟多休息了4次=8分钟,这时候花的时间必然是最多的,设追上时弟弟走了x米,哥哥走了(x+800)米,根据时间相同可得方程(x+800)/60+8=x/40,解得x=2560,2560/200=12…160,弟弟要休息12次=24分钟,弟弟走2560米需要的时间=2560/40=64分钟,所以弟弟总共用了24+64=88分钟。

可以看到最终的正确答案是介于80和88之间的,为什么会介于这两个数之间,因为实际的情况是哥哥追上弟弟的时候,弟弟只休息了一部分时间(不到两分钟),所以哥哥比弟弟多休息的时间是介于6分钟-8分钟的,这也是为什么解法二算出的结果不一定准确的原因! 


所以应对这类走走停停的追击问题,我们可以这样考虑:如果选项之间的差别比较大,比如说例1,我们可以大胆采用解法二,算出一个值,然后选择跟这个值最接近的数,如果选项之间的差别不大,我们就用解法一代入进行检验两个选项,确定最终答案!

 


例3:在400米环形跑道上,A、B两点最近相距100米(如图)。甲、乙两位运动员分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑9米,乙每秒7米,他们每人跑100米都停5秒,那么甲追上乙需要多少秒?   【云南2009】

A. 70     B. 65     C. 75    D. 80

析:这个100米是最近距离,但是A和B的实际距离肯定是要大于100米的,我们不妨先按照100米进行计算。

根据选项差别不大,我们选择解法一,甲跑100米需要的时间=100/9秒,加上休息的5秒,相当于145/9秒一个周期。乙跑100米需要的时间=100/7秒,加上休息的5秒,相当于135/7秒一个周期。

我们带入选项A,70=630/9=4*(145/9)+50/9,相当于甲走了4个周期(400米)+50/9秒(50米),所以甲共走了450米,70=490/7=3*(135/7)+85/7,相当于乙走了3个周期(300米)+85/7秒(走了85米),所以乙共走了385米,甲还差35米才追上乙。

代入选项C,75=675/9=4*(145/9)+95/9,相当于甲走了4个周期(400米)+95/9秒(95米),所以甲共走了495米

75=525/7=3*(135/7)+120/7,相当于乙走了3个周期(300米)+120/7秒(100/7秒走了100米,剩下的20/7休息),所以乙共走了300+100=400米,甲还差5米才能追上乙,另外考虑100米是甲乙间的直线距离,而实际距离是大于100米的,只能选D



例4:在200米环形跑道上,甲乙两人从同一个点出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑7米,乙每秒跑5米,甲每跑100米停5秒,乙每跑30米停10秒,那么,甲追上乙一周需多少秒?

A.50      B.61    C.72    D.80

析:这个题目乍一看选项差距比较大,但是题目中甲乙跑的米数和休息的时间数都是不一样的,用解法二比较繁琐,我们仍旧选择解法一,甲跑100米需要的时间=100/7,加上休息的5秒,为135/7秒一个周期。乙跑30米需要的时间=6秒,加上休息的10秒,为16秒一个周期。代入B选项, 61=427/7=3*(135/7)+22/7,所以甲走了3个周期(300米)+22/7秒(22米),甲一共走了322米。61=3*16+13,相当于甲走了3个周期(90米)+13秒(6秒走了30米,休息了7秒),乙一共走了120米,甲比乙多走了202米,所以选B



留下两道奥数题作为巩固。


例5:在一条长400米的环形跑道上,A、B两点相距200米,,甲乙两人分别从A、B两点同时出发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑7米,乙每秒跑5米,他们每人跑100米都停5秒,那么,甲追上乙要几秒?

A.120       B.150      C.180      D.210 

析:选项之间差距比较大,我们选择解法二。设乙走了x米被甲追上,则甲走了(200+x)米,代入最有利的情况,甲刚要休息而乙刚休息结束,所以甲比乙多走的200米相当于比乙多休息了一次,(x+200)/7 + 5= x/5,解得x=1175/2=587.5米,所以乙休息了五次,乙走1175/2米的时间=1175/10=117.5,再加上休息五次的25秒=142.5秒,实际值应该比这个略大,选择B



例6:在400米的环形跑道上,A、B两点相距100米。甲乙两人分别从AB两点同时出发,按照逆时针方向跑步,甲每秒跑5米乙每秒跑4米,每人每跑100米,都要停10秒钟。那么,甲追上乙需要的时间是多少秒?

A.130     B.135     C.140     D.145 

析:根据选项差距我们选择解法一,甲跑100米需要的时间为100/5=20秒,加上休息的10秒,为30秒一个周期。乙跑100米需要的时间为100/4=25秒,加上休息的10秒,为35秒一个周期。


我们先代入选项B,135=4*30+15,相当于甲走了4个周期(400米)+15秒(75米),所以甲共走了475米。135=3*35+30,相当于乙走了3个周期(300米)+30秒(25秒走了100米,休息了5秒),乙共走了400米,所以甲离乙还有25米,135秒时没有追上。

代入选项C,接着选项B进行分析,此时乙休息了5秒,所以还需要继续休息5秒,所以135-140这段时间里乙都是在休息的,甲走了4个周期+15秒,所以甲135-140这段时间里是一直在走的,135秒的时候甲和乙差的25米需要25/5=5秒就可以追上,所以140秒的时候刚好追上,选C

此题比较特殊,甲追上乙时甲刚好要休息而乙刚好休息完,与解法二用最有利情况算得的结果完全一致。

(x+100)/5 = x/4解得x=400,所以乙的时间=400/4+休息了四次的40分钟=140分钟


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    1.十九大报告的题目是:_____。答:决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利2.大会的主题是:_____。答:不忘初心,牢记使命,高举中国特色社会主义伟大旗帜,决胜全面建成小康社会,夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利,为实现中华民族伟大复兴的中国梦不懈奋斗。3.习近平同志在十九大报告中指出,经过长期努力,中国特色社会主义进入了_____,这是我国发
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    行测考试:常见易混淆的词语辨析  1.开诚布公: 开诚:敞开胸怀;表示诚意;布公:公正无私地发表自己的见解。指坦白无私、诚恳公正地亮出自己的见解。 推心置腹: 把赤诚的心交给人家。比喻真诚待人。 辨析:“开诚布公”和“推心置腹”;都有诚心待人的意思。但“开诚布公”偏重形容心地坦白、无私;“推心置腹”偏重在形容两人的交情很深厚。 披肝沥胆
  • 常用易混实词辨析
    A哀怜爱怜爱恋:“哀怜”指对别人的不幸遭遇表示同情;“爱怜”指十分疼爱,多用于子女;“爱恋”指热爱而难以分离,多用于男女之间。安置安顿安排:“安置”重在“置”,使工作、生活、物品等有适当的位置,或指人或物的处置各得其所;“安顿”重在“顿”,妥当安排使有着落;“安排”重在“排”,分轻重缓急、先后主次,有条不紊地处置人或事物。按语暗语:“按语
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